– مثال کلاسیک پرتاب سکه
– انحراف استاندارد دو جمله ای
– آیا قانون اعداد بزرگ به نفع شما است یا بر علیه شما؟

شرط بندی اغلب تحت تأثیر شانس است. گاهی اوقات خوش شانس هستیم و گاهی اوقات قربانی بدشانسی می‌شویم. درک این نکته مهم است که شانس در شرط بندی می تواند نقش داشته باشد اما مرز بین خوش شانسی و بد شانسی چقدر مشخص و واضح است؟ با ادامه مقاله همراه باشید.

در شرط بندی ورزشی تقریباً همه چیز به شانس مربوط می‌شود. اکثر اوقات خوش شانسی دلیل پیروزی برنده است؛ حاشیه سایت شرط بندی و قانون اعداد بزرگ تقریبا تمام آنها را در پایان شکست می‌دهد. آنهایی که طی این سال‌ها با مقالات من آشنا شده‌اند می‌دانند که وقتی حرف از احتمال سودآوری شرط بندان در بلند مدت می‌شود من داستان سازش ناپذیری دارم. الزاما انتظار ندارم که شما هم با نظر من موافق باشید، زیرا این شرایط نبردی است که هر شرط بندی هنگام رویایی با امید و واقع ‌گرایی آن را تجربه می‌کند.

برای مقاله با این نبرد بیشتر مقالات منابع شرط بندی در سایت فوتبالی طوری طراحی شده‌اند که به شرط بندان آموزش دهند تا در کار پیش بینی ماهر شوند. با این وجود، حتی برای معدود افرادی که انتظار سودآوری در بلند مدت برای آنها برآورده می‌شود، باز هم قوانین احتمال اعمال خواهند شد. در این مقاله نگاهی دقیق تر داریم به چگونگی اعمال این قانون. و مخصوصا مشخص بودن مرز بین خوش شانسی و بد شانسی را توضیح خواهم داد.

مثال کلاسیک پرتاب سکه

همه ما می دانیم که پرتاب سکه یک گزاره‌ ۵۰-۵۰ است: شیر یا خط. همچنین می دانیم که اگر آن را ۲۰ بار پرتاب کنیم همیشه به ۱۰ شیر و ۱۰ خط نمی‌رسیم، هرچند که این نتیجه محتمل ترین نتیجه ‌ی ممکن است. گاهی اوقات به ۱۲ شیر و ۸ خط می‌ رسیم، گاهی اوقات به نتیجه‌ ی دیگری می ‌رسیم. اغلب اوقات ۵ شیر و ۱۵ خط می‌بینیم. برای تعیین احتمالات دقیق هر نتیجه‌ ی ممکن میتوانیم از توزیع دو جمله ای استفاده کنیم. توزیع دو جمله ای برای ۲۰ بار پرتاب سکه به شکل زیر است:

محتمل‌ ترین نتایج  بین “۵ شیر و ۱۵ خط” و “۱۵ شیر و ۵ خط” قرار دارند. در مورد ۱۰۰ بار پرتاب سکه چطور؟ در اینصورت توزیع دو جمله‌ای به صورت زیر است:

اینبار دامنه ‌ی نتایج احتمالی بزرگتر است. دیدیم که برای ۲۰ بار پرتاب سکه دامنه ‌ی نتایج بین ۵ و ۱۵ شیر بود، یعنی یک اختلاف ۱۰ تایی. برای ۱۰۰ بار پرتاب سکه، این دامنه تقریبا دو برابر می‌شود، و بین ۴۰ و ۶۰ شیر است. آیا این بدین معنا است که هر چه اندازه‌ی نمونه ی پرتاب سکه بزرگتر باشد، دامنه‌ی نتایج احتمالی هم بزرگتر می‌شود؟ در پاسخ هم میتوان گفت بله و هم نه.

وقتی که ریاضی دان جاکوب برنولی چنین سناریویی را تجربه کرد، مشاهده کرد که با اینکه اختلاف عددی مطلق بین تعداد شیر و خط با افزایش اندازه‌ی نمونه بیشتر می‌شود، اما درصد شیر آمدن به ۵۰% نزدیکتر می‌شود. ۵ شیر ۲۰ پرتاب یعنی ۲۵%؛ اما ۴۰ شیر از ۱۰۰ پرتاب یعنی ۴۰%. این توضیح دوم، که مبنای قانون اعداد بزرگ است، برای درک احتمال توسط شرط بندان مهم است.

انحراف معیار دو جمله‌‌ای

می ‌توانیم دامنه یا پراکندگی نشان داده شده توسط انحراف معیار را اندازه گیری کنیم. در یک توزیع دو جمله ای، انحراف معیار، یعنی σ، با معادله‌ی ساده‌ی زیر نشان داده می شود:

که در این معادله n برابر است با تعداد تکرار های باینری (یعنی پرتاب سکه)، p برابر است با احتمال موفقیت (شیر) و q برابر است با احتمال شکست (خط). از آنجایی که p + q = 1 است بنابراین معادله را به شکل زیر می‌ نویسیم:

و برای نمونه‌ ی ساده ای که در آن p = q است (یعنی ۰٫۵) معادله به این شکل نوشته می شود:

برای ۲۰ بار پرتاب سکه، σ = ۲٫۲۴ است، درحالیکه برای ۱۰۰ بار پرتاب سکه σ = ۵ است.

انحراف معیار طیف وسیعی از نتایج احتمالی را به ما نشان می دهد. برای مثال، برای ۱۰۰ بار پرتاب سکه، کمی بیشتر از دو سوم نمونه ها بین  1 σ ±   هستند، یا بین ۴۵ و ۵ شیر.

ما اولین یافته ی برنولی را تایید کردیم: هر چه اندازه ی نمونه بزرگتر باشد، گستردگی مطلق هم بزرگتر است. اما اگر به جای اعداد مطلق از درصد شیر ها استفاده کنیم چطور؟  برای محاسبه‌ ی درصد شیر ها تعداد دفعاتی که شیر آمده را بر تعداد کل پرتاب ها، یعنی n، تقسیم می کنیم. همچنین، برای محاسبه ی درصد انحراف معیار باید آن را بر n تقسیم کنیم.

بنابراین برای گزاره ی ساده ی ۵۰:۵۰ معادله به شکل زیر است:

اکنون، درصد انحراف استاندارد (انحراف معیار) شیرها در ۲۰ بار پرتاب سکه ۰٫۱۱ (یا ۱۱%) است، اما برای ۱۰۰ بار پرتاب سکه فقط ۰٫۰۵ (یا ۵%) است.

قانون اعداد بزرگ

طبق قانون اعداد بزرگ، هرچه دفعات آزمایش بیشتر باشد، میانگین نتایج به دست آمده از دفعات ازمایش باید به ارزش مورد انتظار نزدیک تر شود. در مورد پرتاب سکه می توان گفت که هر چه دفعات بیشتری سکه را پرتاب کنیم، درصد شیر آمدن به ارزش مورد انتظار ۵۰% نزدیک تر می شود.

از آنجایی که انحراف معیار متناسب با ریشه ی مربع دفعات پرتاب سکه است، این دو متغیر “رابطه‌ی قانون قدرت” را شکل می دهند، که در آن انحراف استاندارد با قدرت یا لگاریتم دفعات پرتاب سکه تغییر می کند. در نقشه ی log-log، این رابطه خودش را به صورت یک خط مستقیم نشان میدهد؛ که با هر بار جذر گرفتن از n، مقدار σ نصف می شود.

این رابطه‌ی قانون قدرت به این معنا است که، به طور نسبی، بیشتر نتایجی که در انحراف استاندارد قرار می گیرند جزو معدود آزمایشات اول هستند. با توجه به σ=۰٫۵ بعد از یک بار پرتاب سکه، بعد از ۲۵ بار پرتاب انحراف استاندارد برابر است با ۰٫۱، یعنی چهار پنجم مسیر به طرف مقدار حد صفر (بعد از بی نهایت پرتاب سکه). به این ترتیب می بینیم که قانون اعداد بزرگ چطور چقدر سریع کار می کند. اگر نمودار بالا را مجددا با مقیاس های خطی رسم کنیم به تجسم بهتر این سرعت کمک می کند.

بردها و باخت ها در شرط بندی

برد و ضرر در شرط بندی بسیار شبیه شیر و خط در پرتاب سکه است. شرط بندی در اصل یک گزاره ی باینری است: یا برنده می شوید یا می بازید. به این ترتیب در ساده ترین نمونه های شرط بندی که در آن احتمال مورد انتظار هر برد همیشه یکسان باقی می ماند، احتمال نتایج هم به صورت باینری توزیع خواهد شد.

مثال بارز این گزاره باینری می تواند گسترش شرط بندی در بازارهای ورزشی ایالات متحده یا هندیکپ فوتبال آسیایی باشد که در آن اعمال هندیکپ به یک تیم یا تیم دیگر باعث میشود این شرط بندی به یک شرط ۵۰-۵۰ تبدیل شود که دارای ضرایب منصفانه‌ی ۲٫۰۰ است.

با این حال، ما نباید خودمان را به گزاره ۵۰-۵۰ محدود کنیم. ورژن عمومی تری که به شما اجازه می دهد دیگر درصدهای برد مورد انتظار ممکن را هم در نظر بگیرید به صورت زیر است:

حتی برای شرط بندان ماهری که می توانند ارزش مورد انتظار سودآور بلند مدتی تولید کنند، بیشتر آنچه که اتفاق می افتد در واقع یک نویز تصادفی حول سیگنالی نسبتا ضعیف است، و دلیل این امر تنوع تصادفی ذاتی سیستم های پیچیده مانند رویدادهای ورزشی است.

البته در دنیای واقعی شرط بندی، شرط بندان غیر ماهر به صورت یکسان انتظارات را برآورده نمی کنند. وقتی سایت شرط بندی در تنظیم حاشیه شما را نادیده بگیرد، شما ناچارا بعد از ۱۰۰۰ شرط بندی شکست خواهید خورد.

شرط بندی را تصور کنید که با گزاره‌ی ۵۰-۵۰ شرط بندی می کند و در بلند مدت در ۵۵ درصد مواقع پیروز می شوید. این شرط بند با مهارتی که در پیش بینی کردن دارد توانسته در بلند مدت درصد برد خود را از %50 درصد به %55 درصد برساند، اما قوانین دو جمله ای واریانس همچنان یکسان است.پ

با معادله فوق می توانیم نشان دهیم که انحراف استاندارد آنها در درصد برنده شدن شرط بند باید پس از ۲۷۵ شرط بندی ۳٪ باشد، و این نشان می دهد که تقریبا به احتمال دو سوم، نرخ برد آنها در طول این شرط بندی بین ۵۲% و ۵۸% است.

اگر شرط بندی ما با همین احتمال (ضرایب) برد مورد انتظار برای هر شرط بندی پیش برود، می توانیم از توزیع  دو جمله ای برای تعیین احتمال وقوع اتفاق استفاده کنیم (در اکسل این کار با تابع BINOMDIST انجام می شود).

در ادامه این موضوع را برای مجموعه ای از تاریخچه های شرط بندی توضیح داده ام. نمونه ی اول در مورد ۲۰ شرط بندی است. مقادیر عددی نمودار احتمال تجمعی درصد برد واقعی را که بالاتر از یک مقدار خاص هستند نشان می دهد. به عنوان مثال، اگر انتظار طولانی مدت شما ۲۰٪ باشد، شانس برد شما در بیش از شش شرط (۳۰%) برابر است با ۹%. اگر به طور معمول انتظار ۱۶ برد را داشته باشید، شانس برد هر ۲۰ شرط ۱% است.

به طور کلی ، مناطق قرمز و سبز به ترتیب مناطقی از ضرر و زیان و سود را نشان می دهند که در آنها  ضرایب منصفانه هستند. تعجبی ندارد که اگر بیشتر از آن تعداد شرطی که انتظار داشتید ببازید، از نظر مالی ضرر خواهید کرد، اما متوجه می شوید که این عملکرد پایین تر از حد انتظار خیلی رایج نیست.

حتی بعد از ۲۰ شرط با مبلغ گذاری یکسان، سه چهارم مواقع می توانید انتظار برد ۹ شرط یا بیشتر از ۹ شرط را داشته باشید. قانون اعداد بزرگ در کنار شما است، و در مقابل احتمال خسارت جدی از شما محافظت می کند.

بیشتر بخوانید: یک مطالعه موردی: چرا شرط بندان اجازه ندارند که برنده شوند؟

با این حال استنباط همچنان درست است. اگر در شرط بیشتری از آنچه انتظار دارید برنده شوید، سود خواهید کرد، اما این بدان معنا نیست که سودهای بزرگی خواهید کرد. حتی اگر شرط بند ماهری باشید و بتوانید ۵۵% از هر شرط هایی با مبلغ گذاری یکسان را در بلند مدت برنده شوید، باز هم احتمال برد ۱۴ شرط یا بیشتر در ۲۰ شرط ۱۳% است. اکنون قانون اعداد بزرگ بر علیه شما است، و اجازه نمی دهد که درصدهای بالا سود کنید.

منطقه زرد تقریباً منطقه ای است که در آن شرط بندان به طور مساوی تقسیم شده اند. نکته جالب توجه منطقه بین خوش شانسی و بد شانسی بیش از حد است، و همچنین جایی که بیشترین عملکردهای شرط بندی در آنجا دیده می شود.

ببینید که بعد از ۱۰۰ بار شرط بندی چه اتفاقی برای منطقه زرد می افتد.

شانس های اینکه در طولانی مدت احتمال حذف شما خیلی کم شود به طرز قابل توجهی کم شده است. بعد از ۱۰۰۰ بار شرط بندی چطور؟

البته در دنیای واقعی شرط بندی، شرط بندان غیر ماهر به صورت یکسان انتظارات را برآورده نمی کنند. وقتی سایت شرط بندی در تنظیم حاشیه شما را نادیده بگیرد، شما ناچارا بعد از ۱۰۰۰ شرط بندی شکست خواهید خورد. قانون اعداد بزرگ شما را نابود کرده است. اما برای شرط بندان ماهر اوضاع فرق می کند.

اگر در ۱۰۰۰ شرط بندی با مبلغ گذاری یکسان انتظار داشته باشید که در ۵۵% از مواقع برنده شوید، اغلب اوقات حداقل در ۵۰% از آنها برنده خواهید شد. اگر حاشیه سایت شرط بندی کوچکتر از تفاوت بین درصد انتظار برد شما و درصد انتظار سایت شرط بندی از برد شما باشد، احتمال سود آوری بلند مدت شما زیاد است. وبسایت فوق العاده‌ی ProfessionalGambler.com به خوبی به این مساله اشاره  می کند.

” تفاوت بین درصد شرط هایی که یک  شرط بند ورزشی ماهر برنده می شود، و درصد شرط هایی که یک بازنده برنده می شود بسیار کم است.”

حالا خودتان می بینید که این اختلاف چقدر کوچک است. قانون اعداد بزرگ هم می تواند به نفع شرط بندان باشد هم به ضرر آنها.

بدیهی است که شرط بندی اکثر افراد به همین سادگی که در این مقاله گفته شده نیست، و شرط بندان باید از بین ضرایب و مبلغ گذاری های مختلف یکی را انتخاب کنند. برای تجزیه و تحلیل این موضوع، باید از قوانین پیچیده تر ریاضی استفاده کنیم یا از شبیه سازی مونت کارلو برای موارد خیلی پیچیده کمک بگیریم.

علاوه بر این ، من واریانس سود و زیان واقعی را در نظر نگرفته ام. این موضع هم یکی از موضوعات جالبی است که در مقالات قبلی به آن پرداخته ام (هر چه ضرایب طولانی تر باشد، واریانس سود و ضرر هم بزرگتر خواهد شد).

با این وجود ، هدف از این مقاله نشان دادن سرعت و قدرت قانون اعداد بزرگ است، و اینکه مرز بین نتایج واقعی و نتایج مورد انتظار و همچنین قلمرو خوش شانسی و بد شانسی چقدر است.

تست کردن اعتبار تاریخچه های شرط بندی

قبل از اینکه این مقاله را تمام کنم می خواهم به شما نشان دهم که چگونه می توانید از اطلاعات مربوط به انحراف استاندارد در درصد های واقعی پیروزی استفاده کنید تا اعتبار تاریخچه هایی که تیپسترها و خدمات مشاوره ی شرط بندی ادعا می کنند و می خواهند آن را به شما بفروشند را تست کنید.

می توانیم از مثال شرکت هندیکپ که “رویکرد صادقانه و صریح” خود در مورد “اصول هندیکپ خود” را ارائه می دهد استفاده کنیم. این شرکت از ماهیت تصادفی بودن شرط بندی ورزشی آگاه است، و برای مشتریان توضیح می دهد که هیچ تضمینی برای برنده شدن وجود ندارد و این که “همیشه در هر مسابقه ای باید عنصر شانس را هم در نظر بگیرید”.  با این وجود ، با افزایش نرخ پیروزی ۷۶٪ در بیش از ۱۱۰۰۰ انتخاب، این شرکت توانست آشکارا سرسختی آن کنترل کند.

طبق قانون اعداد بزرگ، هر چه تعداد تست ها بیشتر شود میانگین نتایج به دست آمده از مجموعه ای تست ها باید به ارزش مورد انتظار نزدیکتر شود.

بررسی دقیق تر نتایج منتشر شده آنها تا به امروز نشان می دهد نرخ برد ۱۰۳۱۲ انتخاب برابر است با ۷۵% (مسلما تعداد معدودی از راهنمایی ها خطا دارند). اگرچه گزاره های ارزش گذاری شده ی کوتاه و بلندی وجود دارد، ۹۴% از آنها ضرایبی بین ۱٫۶۷ و ۲٫۵۰ دارند (یا احتمال برد ۶۰% و ۴۰%). بعد از برداشتن حاشیه ی سایت شرط بندی میانگین احتمال برد ضمنی برای کل نمونه ۵۲٫۲% است، که تا جایی که ممکن است به گزاره ی ۵۰-۵۰ نزدیک است.

توزیع نتایج بین نمونه های ۵۶ ماهه (از مارس ۲۰۱۴ تا اکتبر ۲۰۱۸) میانگین مجموعا ۱۸۴ انتخاب در ماه را نشان می دهد که در بیش از نیمی از ماه ها تعداد انتخاب ها بین ۱۴۰ و ۲۲۴ بود. اگر فرض کنید که نرخ برد بلند مدت ۷۵% است، درصد بر ماهانه‌ ی شما چقدر تغییر می کند؟ از معادله ای که بالاتر ارائه دادیم برای محاسبه ی انحراف استاندارد مورد انتظار در درصد برد نمونه‌ ی ۱۸۴ انتخابی را محاسبه کنید. طبق محاسباتی که کردیم جواب معادله کمی از ۳% بیشتر است. تقریبا بیش از دو سوم نمونه ها باید بین ۷۲ تا ۷۸ درصد باشند ، در حالی که ۹۵ درصد بین ۶۹ تا ۸۱ درصد است.

در حقیقت، انحراف معیار در درصد برد ماهانه ۸٫۶٪ است که خیلی بالاتر از آنچه باید باشد است. کمتر از ۴۰% مقادیر در ۱ σ ± از ۷۵% قرار دارند، و بیش از نیمی از آنها در σ ۲ ± قرار دارد. تنوع بسیار زیادی وجود دارد، حتی اگر فرض کنیم هر ماه فقط ۳۲ انتخاب داشته باشد، در ماهی که کمترین مقدار را داشته، انحراف استاندارد مورد انتظار همچنان فقط ۷٫۷% است.

افت سرمایه چیست و چطور باید آن را مدیریت کرد؟

انتظار می رود که درصد برد ماهانه ی % ۸٫۶ برای نمونه ای با ۲۵ انتخاب باشد، نه ۱۸۴ انتخاب. در دسامبر ۲۰۱۴ به طور میانگین ۱۵۱ انتخاب وجود داشت که درصد انتظار برد ضمنی آنها % ۵۱٫۴ بود. درصد برد % ۴۶٫۴ را فقط هر هزار سال یکبار می توان انتظار داشت. در اکتبر ۲۰۱۵ تعداد انتخاب ها ۱۶۸ عدد بود (و درصد انتظار برد ضمنی آنها %۴۸٫۵ بود) که ۱۵۴ مورد از آنها یا ۹۱٫۷ درصد از آنها برنده شدند. چنین عملکردی برای چنین تیپستر ماهری به طور معمول هر هزار سال یکبار رخ می دهد.

اینکه از این یافته ها چه نتیجه ای باید بگیرید را به قوه تخیل خودتان واگذار می کنم. شاید استدلال کنید که سطوح مهارت در کوتاه مدت به طرز چشم گیری نوسان می کنند. شاید هم استدلال دیگری داشته باشید. اما با توجه به آنچه که قبلا در مورد محدودیت های انتظار سود گفته ام، مطمئنم که اکنون می دانید که رقم ۷۶% برای نرخ برد هندیکپ رقمی است که فقط باید به آن بخندید و از آن عبور کنید.


منبع مقاله : پیناکل

ترجمه اختصاصی از فوتبالی


دیدگاهتان را بنویسید