– ارزش مورد انتظار و مطلوبیت مورد انتظار
– مطلوبیت‌ در شرایط عدم اطمینان
– مقدار مبلغ گذاری بهینه را چطور محاسبه کنیم؟

برای برنده شدن در شرط بندی های ورزشی باید یک استراتژی شرط بندی با ارزش مورد انتظار مثبت داشته باشید، یعنی برآورد میانگین برد شما در هر شرط. اما برای دستیابی به حداکثر سود باید برای هر شرط با چه مقدار سرمایه ریسک کنید؟ با ادامه‌ی مقاله همراه باشید تا به جواب این سوال برسید.

بخوانید: رایج ترین اشتباهی که شرط بندان ورزشی مرتکب میشوند چیست؟

ارزش مورد انتظار مفهومی است که ریاضی دانان فرانسوی پاسکال و فرمات در قرن هفدهم وقتی سعی داشتند مساله‌ی بازی امتیازات را حل کنند آن را کشف کردند. ارزش مورد انتظار نشان میدهد که به طور میانگین چقدر میتوانیم انتظار برد در هر شرط را داشته باشیم. البته ارزش مورد انتظار در مورد مقدار ریسک سرمایه در هر شرط چیزی نمیگوید. اینجاست که مطلوبیت مورد انتظار وارد بازی میشود.

ارزش مورد انتظار و مطلوبیت مورد انتظار

ارزش مورد انتظار (EV) در شرط بندی را میتوان با ضرب احتمال برد (p) در مقداری میتوانید در هر شرط برنده شوید، منهای احتمال باخت ضربدر مقداری که در هر شرط میبازید، محاسبه کرد. از آنجایی که احتمال باخت برابر است با ۱ (یا ۱۰۰%) منهای احتمال برد، به معادله ی ساده شده‌ی زیر میرسیم:

expected-utility-betting.jpg

“o” ضرایب اعشاری اروپایی را نشان میدهد که در میتوانید از طریق سایت شرط بندی به آن دسترسی داشته باشید. ارزش مورد انتظار مهمترین عدد برای هر شرط بند است، زیرا او را از این مساله آگاه میکند که آیا در بلند مدت باید انتظار کسب درآمد داشته باشد یا انتظار از دست دادن پول.

وقتی شرط بند ارزش مورد انتظار را پیدا کرد باید تصمیم بگیرد که با چه مقدار از سرمایه اش شرط بندی کند. دنیل برونلی، ریاضیدان قرن هیجدهم متوجه شد که فقط احمق ها هستند که بر اساس ارزش مورد انتظار عینی و بدون توجه به پیامدهای ذهنی در هر شرط، یعنی مطلوب بودن آنچه که میتوان به دست آورد (یا باخت)، در مورد اینکه چقدر باید ریسک کنند تصمیم گیری میکنند. این مطلوب بودن ذهنی “مطلوبیت” نام دارد.

مطلوبیت در شرایط عدم اطمینان

فرض کنید دو صندوق به ما نشان میدهند. یکی ۱۰۰۰۰ یورو پول نقد دارد. صندوق دیگر یا ۲۰۰۰۰ یورو دارد یا هیچ. نمیدانیم کدام را انتخاب کنیم اما احتمالی که برای هر کدام از صندوقها وجود دارد یکسان است. اکنون از شما خواسته میشود که یک صندوق را انتخاب کنید. کدام را انتخاب میکنید؟

“رویکرد کلی (Kelly) به صورت فنی به شرط بندان برنده کمک میکند تا اندازه‌ی سرمایه ی کل خود را در بلند مدت به حداکثر برسانند”

شما با معمای مطلوبیت کلاسیک روبرو هستید. از نظر ریاضی، ارزش مورد انتظارهر دو صندوق یکسان است، یعنی ۱۰۰۰۰ یورو. اگر تا ابد هم این بازی را تکرار کنید نمیتوانید بفهمید که باید کدام صندوق را انتخاب کنید. اما اینجا فقط یکبار میتوانید بازی کنید. قانون اعداد بزرگ کاربردی ندارد.

اگر صندوق اول را انتخاب کنید قطعا ۱۰۰۰۰ یورو به دست میاورید. اگر صندوق دوم را انتخاب کنید، نتیجه به شانس بستگی دارد: یا خوش شانس خواهید بود و ۲۰۰۰۰ یورو به دست میاورید، یا بد شانس خواهید بود و چیزی عایدتان نمیشود.  تعجبی ندارد ک با این حساب بیشتر مردم قطعا صندوق اول را انتخاب میکنند.

از دیدگاه مطلوبیت، قطعیت ۱۰۰۰۰ یورو خیلی بهتر از ریسک برنده نشدن است. افرادی که عقیده دارند، در صورتی که انتظار از نظر ریاضی یکسان باشد مطلوبیت حتمی بهتر از شرط بندی است، افرادی ریسک گریز هستند.

مقدار مبلغ گذاری بهینه را چطور محاسبه کنیم؟

دنیل برنولی استدلال کرد که رفتار عقلانی استاندارد در هنگام تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان، ریسک گریزی نام دارد. بنابراین فرضیه اش را اینگونه مطرح کرد: “مطلوبیت حاصل از افزایش کم در ثروت، با مقدار ثروتی که از قبل مالک آن هستید نسبت معکوس دارد.” به عبارت دیگر، هرچقدر ثروت کنونی شما بیشتر باشد، مطلوبیتی که از سود کردن بیشتر عاید شما میشود کمتر است. تابع این مطلوبیت لگاریتمی است، آن را تحت عنوان “مطلوبیت حاشیه ای تخریب کننده‌ی ثروت” میشناسند.

اگرچه استفاده از معیار کلی (Kelly) موجب نوسان قابل توجهی در بازده ها میشود، اما به شرط بندان برنده کمک میکند تا در بلند مدت سرمایه ی کل خود را افزایش دهند.

یکی از کاربردهای عملی نظریه ی دنیل برنولی “برنامه ی مدیریت پول” است که بسیاری از شرط بندان آن را با نام معیار کلی  میشناسند. این معیار که توسط جان کلی معرفی شد و در AT&T’s Bell Labs در هنگام حل مساله‌ای مربوط به نویز تلفن راه دور با آن کار کردند، خیلی زود وارد دنیای شرط بندان و سرمایه گذاران شد تا از آن به عنوان ابزاری برای بهینه کردن مدیریت پول و رشد سود استفاده کنند.

با اینکه انگیزه ی کلی با برنولی فرق داشت، اما معیارش از نظر ریاضی معادل تابع مطلوبیت لگاریتمی بود. در عمل، شرط بند را به سمتی سوق میدهد که با درصدی از کل ثروتش، در یک شرط بندی که هم با ارزش مورد انتظار (EV) تناسب دارد و هم با احتمال موفقیت نسبت معکوس دارد، ریسک کند.

با توجه به اینکه EV = po – ۱ (که در آن p برابر است با احتمال درست موفقیت و o برابر است با ضرایب اعشاری برای شرط بند)، میتوانیم درصد مبلغ گذاری کلی (Kelly) را به صورت زیر محاسبه کنیم:

kelly-criterion-betting.jpg

در اصل معیار کلی مطلوبیت لگاریتمی مورد انتظار را به حداکثر می رساند. یکی از پیامدهای شرط بندی با معیار کلی نوسان قابل توجه در بازده ها است، و همین ویژگی باعث شده که برای مطلوبیت همه مناسب نباشد. علاوه بر این، استفاده از این معیار نیازمند برآورد دقیق احتمالات “درست” نتایج است.

با این وجود، رویکرد کلی (Kelly) به صورت فنی به شرط بندان برنده کمک میکند تا اندازه‌ی سرمایه ی کل خود را در بلند مدت به حداکثر برسانند. البته برای این کار شرط بند به سایتی برای شرط بندی نیاز دارد که مشکوک به استفاده از روشهای خاص مدیریت پول مثل کلی (Kelly) نباشد و مهمتر اینکه در صورت برد شرط بندی را محدود نکند. وان ایکس بت از این نظر شهرتی دارد که دومی ندارد.


منبع مقاله : پیناکل

ترجمه اختصاصی از فوتبالی



دیدگاهتان را بنویسید